A teoria das equações cúbicas foi plenamente desenvolvida durante a
Renascença. Infelizmente, ela resultou em um incidente quando a
matemática nem sempre se comportava muito bem. Scipione Del Ferro
encontrou a solução para as várias formas especializadas da equação
cúbica e, ouvindo falar disso, Niccolò Fontana – apelidado “Tartaglia”
ou “o gago” –, um professor de Veneza, publicou seus próprios
resultados sobre álgebra, mas manteve secretos seus métodos. Girolamo
Cardano, de Milão, convenceu Tartaglia a contar a ele qual era o seu
método, mas teve de jurar guardar segredo. O método vazou e criou-se
uma rivalidade entre eles quando Tartaglia descobriu que seu trabalho
tinha sido publicado no livro Ars Magna, de Cardano, em 1545.
A grande obra de Girolano Cardano sobre matemática, publicada em 1545,
foi um divisor de águas na teoria das equações, porque continha uma grande
quantidade de resultados para equações cúbicas e quárticas – essas
envolvendo um termo do tipo x
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. Essa enxurrada de pesquisas mostrou que as
equações quadráticas, cúbicas e quárticas podiam todas ser resolvidas por
fórmulas envolvendo apenas as operações +, −, ×, ÷, √ (a última operação
significa a q
a
raiz). Por exemplo, a equação quadrática ax
2 + bx + c = 0 pode
ser resolvida usando a fórmula
Se você quiser resolver a equação x
2 − 3x + 2 = 0 tudo o que tem de fazer é
substituir os valores a = 1, b = −3 e c =2 na fórmula.
As fórmulas para se resolver equações cúbicas e quárticas são longas e
difíceis de se manejar, mas certamente existem. O que intrigava os
matemáticos era que eles não conseguiam produzir uma fórmula que tivesse
aplicação geral a equações envolvendo x
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, as equações “quínticas”. O que
haveria de tão especial na quinta potência?
Em 1826, Niels Abel, que morreu muito cedo, apresentou uma solução
notável para esse enigma da equação quíntica. Ele chegou mesmo a provar
um conceito negativo, quase sempre uma tarefa mais difícil do que provar
que alguma coisa pode ser feita. Abel provou que não poderia haver uma
fórmula para resolver todas as equações quínticas e concluiu que qualquer
pesquisa a mais para esse Santo Graal específico seria fútil. Ele convenceu o
andar de cima dos matemáticos, mas a notícia demorou muito tempo para se
espalhar pelo mundo matemático mais amplo. Alguns matemáticos se
recusaram a aceitar o resultado, e ainda em meados do século XIX havia
gente publicando obras alegando ter encontrado a fórmula que não existe.
O mundo moderno Durante 500 anos álgebra significou “a teoria das
equações”, mas houve novos desenvolvimentos no século XIX. As pessoas se
deram conta de que os símbolos na álgebra poderiam representar muito mais
do que apenas números – poderiam representar “proposições”, e então a
álgebra estaria relacionada ao estudo da lógica. Eles poderiam até representar
objetos de dimensões mais altas, como os encontrados na álgebra matricial
(ver p. 158). E, como muitos não matemáticos desconfiavam há tempos,
podiam até não representar nada e ser apenas símbolos movimentados de
acordo com determinadas regras (formais).
Um evento significativo na álgebra ocorreu em 1843, quando o irlandês
William Rowan Hamilton descobriu os quaterniões. Hamilton estava
buscando um sistema de símbolos que pudesse estender o complexo
bidimensional dos números complexos para dimensões mais altas. Durante
muitos anos ele tentou símbolos tridimensionais, mas não conseguiu chegar a
nenhum sistema satisfatório. Quando ele descia de manhã para o café, seus
filhos perguntavam “Então, papai, você consegue multiplicar trios?” e ele era
constrangido a responder que só conseguia somá-los e subtraí-los.
O sucesso veio inesperadamente. A busca pelo tridimensional era um beco
sem saída – ele deveria partir para os símbolos tetradimensionais. Esse raio
de inspiração foi recebido enquanto caminhava com sua mulher ao longo do
Canal Real até Dublin. Ficou extasiado com a sensação da descoberta. Sem
hesitar, o vândalo de 38 anos, Astrônomo Real da Irlanda e Cavaleiro do
Reino, entalhou as relações de definição na pedra em Brougham Bridge – um
ponto que é hoje assinalado com uma placa. Com a data gravada na cabeça, o
assunto passou a ser a obsessão de Hamilton. Ele deu aulas sobre isso ano
após ano e publicou dois grossos livros sobre sua “flutuação para oeste, o
sonho místico do quatro”.
Uma peculiaridade dos quaterniões é que a ordem dos fatores em sua
multiplicação é vitalmente importante, ao contrário das regras da aritmética
comum. Em 1844, o linguista e matemático alemão Hermann Grassmann
publicou um outro sistema algébrico com um pouco menos de drama.
Desconsiderado na época, esse sistema acabou tendo longo alcance. Hoje,
tanto os quaterniões como a álgebra de Grassmann têm aplicações em
geometria, física e computação gráfica.
O abstrato No século XX o paradigma dominante da álgebra era o método
axiomático. Esse método já tinha sido usado por Euclides como base para a
geometria, mas só foi aplicado à álgebra em data comparativamente recente.
Emmy Noether foi a defensora do método abstrato. Nessa álgebra moderna, a
ideia crucial é a do estudo da estrutura pela qual os exemplos individuais são
subordinados à ideia abstrata geral. Se os exemplos individuais tiverem a
mesma estrutura, mas talvez notações diferentes, eles são chamados
isomórficos.
A estrutura algébrica mais fundamental é um grupo, e isso é definido por uma
lista de axiomas (ver p. 161). Há estruturas com menos axiomas (como os
grupoides, semigrupos e quase-grupos) e estruturas com mais axiomas (como
anéis, corpos não comutativos, domínios integrais e campos). Todas essas
palavras novas foram importadas para a matemática no início do século XX,
à medida que a álgebra se transformou em uma ciência abstrata, conhecida
como “álgebra moderna”.
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